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In diesem Buch spürt man noch immer die Inspiration zweier großer Mathematiker: Hilbert gilt als der letzte seiner Zunft, der in allen Gebieten der Mathematik zu Hause war. Seine grundlegend neuen Erkenntnisse prägten entscheidend die moderne Auffassung vom Wesen der Mathematik. Sein Schüler Courant ist auch heute noch anerkannt als ein ausgezeichneter Lehrer, der die Gabe hatte, schwierigste Materien verständlich darstellen zu können.

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Erstes Kapitel.Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Formen.-
1. Lineare Gleichungen und lineare Transformationen.- 1. Vektoren.- 2. Orthogonale Vektorensysteme. Vollständigkeit.- 3. Lineare Transformationen, Matrizen.- 4. Bilinearformen, quadratische und hermitesche Formen.- 5. Orthogonale und unitäre Transformationen.-
2. Lineare Transformationen mit linearem Parameter.-
3. Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen Formen.- 1. Die Durchführung der Hauptachsentransformation auf Grund eines Maximumprinzips.- 2. Charakteristische Zahlen und Eigenwerte.- 3. Verallgemeinerung auf Hermitesche Formen.- 4. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen.- 5. Darstellung der Resolvente einer Form.- 6. Lösung des zu einer Form gehörigen linearen Gleichungssystems.-
4. Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte.- 1. Kennzeichnung der charakteristischen Zahlen durch ein Minimum-Maximumproblem.- 2. Anwendungen.-
5. Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.- 1. Lineare Unabhängigkeit und Gramsche Determinante.- 2. Determinantenabschätzung von Hadamard.- 3. Simultane Transformation zweier quadratischer Formen in kanonische Gestalt.- 4. Bilinearformen und quadratische Formen von unendlich vielen Variablen.- 5. Unendlich kleine lineare Transformationen.- 6. Variierte Systeme.- 7. Die Auferlegung einer Bindung.- 8. Elementarteiler einer Matrix oder einer Bilinearform.- 9. Spektrum einer unitären Matrix.- Literatur zum ersten Kapitel.- Zweites Kapitel.Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen.-
1. Orthogonale Funktionensysteme.- 1. Definitionen.- 2. Orthogonalisierung von Funktionen.- 3. Besselsche Ungleichung. Vollständigkeitsrelation. Approximation im Mittel.- 4. Orthogonale und unitäre Transformationen in unendlich vielen Veränderlichen.- 5. Gültigkeit der Ergebnisse bei mehreren unabhängigen Veränderlichen. Erweiterung der Voraussetzungen.- 6. Erzeugung vollständiger Funktionensysteme in mehreren Variabein.-
2. Das Häufungsprinzip für Funktionen.- 1. Konvergenz im Funktionenraum.-
3. Unabhängigkeitsma? und Dimensionenzahl.- 1. Unabhängigkeitsma?.- 2. Asymptotische Dimensionenzahl einer Funktionenfolge.-
4. Der Weierstra?sche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen.- 1. Der Weierstra?sche Approximationssatz.- 2. Ausdehnung des Ergebnisses auf Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 3. Gleichzeitige Approximation der Ableitungen.- 4. Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen.-
5. Die Fouriersche Reihe.- 1. Beweis des Hauptsatzes.- 2. Mehrfache Fouriersche Reihen.- 3. Die Grö?enordnung der Fourierschen Entwicklungskoeffizienten.- 4. Streckung des Grundgebietes.- 5. Einige Beispiele.-
6. Das Fouriersche Integral.- 1. Beweis des Hauptsatzes.- 2. Ausdehnung des Resultates auf mehr Variable.- 3. Reziprozitätsformeln.-
7. Beispiele für das Fouriersche Integral.-
8. Die Polynome von Legendre.- 1. Erzeugung durch Orthogonalisierung der Potenzen 1,x,x2.- 2. Die erzeugende Funktion.- 3. Weitere Eigenschaften.-
9. Beispiele anderer Orthogonalsysteme.- 1. Verallgemeinerung der zu den Legendreschen Polynomen führenden Fragestellung.- 2. Die Tschebyscheffschen Polynome.- 3. Die Jacobischen Polynome.- 4. Die Hermiteschen Polynome.- 5. Die Laguerreschen Polynome.- 6. Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome.-
10. Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.- 1. Die Hurwitzsche Lösung des isoperimetrischen Problems.- 2. Reziprozitätsformeln.- 3. Fouriersches Integral und mittlere Konvergenz.- 4. Spektrale Zerlegung durch Fouriersche Reihe und Fouriersches Integral.- 5. Dichte Funktionensysteme.- 6. Ein Satz von H. MüNTZ über die Vollständigkeit von Potenzen.- 7. Der Fejérsche Summationssatz.- 8. Die Mellinschen Umkehrformeln.- 9. Das Gibbssche Phänomen.- 10. Ein Satz über die Gramsche Determinante.- 11. Anwendung des Lebesgueschen Integralbegriffes.- Literatur zum zweiten

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