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Es besteht heute wohl kein fUhlbarer Mangel an Biichern, welche die RlEMANNSchen Flachen zum Gegenstand haben. 1m Jahre 1953 er schien R. NEVANLINNAs "Uniformisierung" (R. NEVANLINNA [1 ]), wo der Nachweis der fundamentalen Existenzsatze unter bewuBter Be schrankung auf konstruktive Methoden, das sind die alternierenden Verfahren von SCHWARZ und NEUMANN, eine iiberaus klare und durch sichtige Darstellung gefunden hat. WEYLS "Idee der RlEMANNSchen Flache" (H. WEYL [1 ]) wurde in der dritten umgearbeiteten Auflage wiederum zu einem modernen Buch. M. SCHIFFER und D. C. SPENCER publizierten ihre tiefgreifenden Untersuchungen iiber ABELsche Diffe rentiale auf kompakten berandeten Flachen in einer umfangreichen Ab handlung (SCHIFFER und SPENCER [1 ]), und es haben H. BEHNKE und F. SOMMER in den zwei letzten Kapiteln ihres Buches "Theorie der analytischen Funktionen einer Veranderlichen" (Springer-Verlag, Berlin 1955) die RlEMANNSchen Flachen wiederum unter einem besonderen Aspekt behandelt. DaB den genannten Biichern nun die vorliegende Monographie "Theorie der RlEMANNSchen Flachen" beigefiigt wird, findet eine Art Rechtfertigung u. a. in dem Versuch, verschiedene Methoden Existenz beweise zu fiihren, einer vergleichenden Betrachtung zu unterziehen. Sowohl dem PERRoNschen Verfahren wie auch dem DIRICHLETschen Prinzip liegt je eine Extremalbedingung zugrunde. Bei der Methode von PERRON handelt es sich darum, geeignete Klassen von subharmoni schen Funktionen u zu definieren, sog. PERRoNsche Klassen $, deren Supremum h = sup u eine harmonische Funktion mit vorgeschriebenen uE´P Eigenschaften ist (vgl.
6. 5 und Kap. IV A).

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Erstes Kapitel. Begriff der Riemannschen Fläche.-
1. Die analytische Funktion im großen.-
2. Das analytische Gebilde.-
3. Begriff der Riemannschenn Fläche.-
4. Beispiele von Riemannschenn Flächen.-
5. Kompakte Teilmengen; Kompaktifikation.-
6. Harmonische und subharmonische Funktionen; Maximumprinzip, Perronsches Theorem.-
7. Die Riemannschen Fläche ist metrisierbar.-
8. Orientierbare topologische und differenzierbare Flächen und konforme Struktur.-
9. Die Riemannschen Fläche ist triangulierbar.- Zweites Kapitel. Analytische Fortsetzung und Überlagerungsfläche.-
10. Homotopie, Fundamentalgruppe.-
11. Analytische Fortsetzung auf einer Riemannschenn Fläche.-
12. Überlagerungsflächen und unbegrenzte analytische Fortsetzbarkeit.-
13. Universelle Überlagerungsfläche, Decktransformationen.-
14. Verzweigte Überlagerung.-
15. Unbegrenzte verzweigte Überlagerungen.- Drittes Kapitel. Homologie und Cohomologie.-
16. Integration.-
17. Cohomologie.-
18. Homologie.-
19. Das Funktional ? ? als schiefes Skalarprodukt.-
20. Homologiebasis.-
21. Cohomologiebasis.-
22. Umlaufzahl; Residuensatz.-
23. Homotopie und Homologie.- Viertes Kapitel. Existenzsätze.- A. Die Perronsche Methode.-
24. Null- und positivberandete Riemannschen Flächen.-
25. Das Dirichletsche Randwertproblem für "kompakte" Gebiete.-
26. Harmonische Nullmengen; verallgemeinertes Maximumprinzip.-
27. Die Dirichletsche Randwertaufgabe für ,,nichtkompakte" Gebiete.-
28. Harmonische Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten.-
29. Konstruktive Varianten zum Perronschen Verfahren.- B. Die Methode des Dirichletschen Prinzips.-
30. Das Dirichletsche Prinzip.-
31. Beweis des Dirichletschen Prinzips.-
32. Das Verhalten am Rande.-
33. Konstruktion einer Minimalfolge.- Fünftes Kapitel. Uniformisierungstheorie.-
34. Beweis des Riemannschenn Abbildungssatzes.-
35. Die Riemannschen Fläche als Fundamentalbereich einer Gruppe linearer Substitutionen.-
36. Uniformisierung.-
37. Schlichtartige Flächen.- Sechstes Kapitel. Harmonische und analytische Differentiale.-
38. Abelsche Differentiale auf geschlossenen Riemannschenn Flächen.-
39. Harmonische Differentiale endlicher Norm auf offenen Flächen.-
40. Die Methode der konvergenzerzeugenden Summanden.- Siebentes Kapitel. Einige Klassen von Riemannschen Flächen.-
41. Nullberandete Flächen.-
42. Die Flächenklassen Og, ..., OAD.-
43. Hinreichende Kriterien für den parabolischen Typus.-
44. Ein hinreichendes Kriterium für den hyperbolischen Typus.

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